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数論検定(1)のネタバレ

◆◆◆ ネタバレ ◆◆◆

代数的整数論を主軸に、数論に関する様々で初歩的な知識を問います。 計算用紙は必要ありません。

作者:因幡のクロウサギ
9問正解で合格/全10問中
合格2人/全8人中
作成日:2017年01月10日
カテゴリ:教養 - 数学数学

【問題】素数pがp=x^2+y^2(x,yは整数)と書けるための必要十分条件は?

正解は・・・ pを4で割ると1か2余る

【解説コメント】
有名なフェルマーの二平方和定理です。類体論のもっとも簡単な例の一つです。

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【問題】多項式n^2+n+41にn=0からn=39までの整数を代入すると、すべて素数の値が出てきます。これは、1-4×41=-163が○○数であることから従います。○○に入る人名は?

正解は・・・ ヘーグナー(Heegner)

【解説コメント】
へーグナー数とは虚二次体Q(√m)の類数が1になる負の整数m(ただし平方因子を持たない)のことです。 因みに選択肢1はコンパクト距離空間の被覆に関する整数。 選択肢2は数学者エルデシュに以下に近いかを表す指標。 選択肢3は数論で最も重要な数列の一つです。

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【問題】(代数的)整数環やユークリッド整域などの一般化である、次元が1のネター正規環をなんという?

正解は・・・ デデキント環

【解説コメント】
素イデアル分解可能性を保証してくれる(というかそれと同値!)、非常にありがたい性質です。

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【問題】定規とコンパスのみを用いて任意の角を三等分できると言い張って、プロの数学者を困らせる迷惑な輩を英語でなんという?

正解は・・・ trisector

【解説コメント】
三等分家(trisector)は中年男性が大半を占めているそうです。もし知り合いに三等分家がいたら、x°が作図可能なのは体の拡大Q(exp(2πix/360))⊃Qが二次拡大列に細分されるようなもの(整数角に限ればx=3n(nは整数)と書けるもの)に限ることを、だれか教えてあげてください。

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【問題】標準的に概型(の底空間)としてみることができる概念として正しくないものはどれ?

正解は・・・ 大域体

【解説コメント】
グロタンディ―クは概型(scheme)を発明し代数幾何学の根幹をことごとく書き換えたのは有名な話です。数論についても、数論幾何学は基本的にこの種類の言葉で書かれています。

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【問題】円分多項式の係数に現れない数は次のうちどれ?

正解は・・・ 1/2

【解説コメント】
円分多項式の係数はすべて整数です。実は、逆にすべての整数はある円分多項式の係数としてあらわせることも知られています。これを、鈴木の定理というそうです。

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【問題】2016年末日までに、無限に存在することが証明されているのは次のうちどれ?

正解は・・・ 非正則素数

【解説コメント】
選択肢1の偶数の完全数はメルセンヌ素数Mp=2^p-1で2^(p-1)×Mpと表せるものですべてなので、メルセンヌ素数の個数の問題に帰着します。 選択肢2はフェルマー素数と呼ばれ、2^2^n+1という形で書ける素数のことであるが、これは有限個しか存在しないと思われています。 選択肢3は0<q-p≦246ならば証明済み。 選択肢4の無限性はジェンセンにより1915年に初等的に示されました。

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【問題】数学的対象と、それに付随するゼータとして正しくないものは次のうちどれ?

正解は・・・ (フルビッツゼータ,球面のホモトピー)

【解説コメント】
フルビッツゼータはリーマンゼータζ(s)の引数ℕをℕ+xにずらした二変数複素関数ζ(x;s)のことです。

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【問題】「虚二次体上のアーベル体は楕円関数の虚数乗法によって得られる」という予想をなんという?

正解は・・・ クロネッカーの青春の夢

【解説コメント】
クロネッカーの青春の夢は有理数体上のアーベル体は円分体によって得られることの類似です。またクロッカワーはゼータ関数論で知られる東工大教授の黒川信重氏のことです。

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【問題】局所類体論の高次元化で知られる東大名誉教授・シカゴ大教授の加藤和也氏のエピソードとして次のうち正しくないものは?

正解は・・・ 57を素数だと思っていた。

【解説コメント】
選択肢3は鬼才グロタンディ―クのエピソードです。 彼の数学の講義は、非常に抽象的なことで有名で、具体例が一つも出てきませんでした。あまりに抽象的で生徒が理解できないものですから、ついに生徒の一人が 「すみません、先生。何か一つだけでいいから具体例を出してもらえませんか?」 と聞いたそうです。 それに対し、グロタンディーク先生は、 「ここで書いてある p は素数なのですが、これをそうですね・・・ p = 57 としましょう。」 と言って講義を進めたのでした。 これにちなんで、今日では57をグロタンディ―ク素数と言います。

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